コラム

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cos 60°がちょうど 1/2(=0.5) になるのは奇跡なのか？

sin（サイン）、cos（コサイン）、tan（タンジェント）という言葉でおなじみの三角関数ですが、 高校では１年で三角比、さらに理科系の２年で三角関数を習います。 本校では１年で三角関数を習います。 三角関数の定義は右の図の通りです。
鋭角の三角比の定義(左)と一般角の三角関数の定義(右)
（左の定義は右の定義に含まれる）

そのとき、特別な角の三角関数の値として

sin 30°＝1/2、 cos 30°＝√3/2、 tan 30°＝1/√3
sin 45°＝1/√2＝√2/2、 cos 45°＝√2/2、 tan 45°＝1
sin 60°＝√3/2、 cos 60°＝1/2、 tan 60°＝√3

を学びます。

また、教科書の巻末には三角関数表がついていて、 そこには 0°〜90°までの三角関数の近似値（たいてい小数第４位まで）が載っています。 cos について見ると、両端の cos 0°＝1、cos 90°＝0 の他には、 cos 60°が 0.5(＝1/2) ちょうどというすっきりした値になるのと比べて、 その他の 1°〜89°までの cos の値はそうではないように思えます。 そこで cos A°（A は 1〜89 の整数）が有理数(＝m/n、ただし m、n は自然数1,2,3,…、 小数に直すと有限小数か循環小数になる） になるかどうかを調べてみましょう。

この問題を考えるとき、三角関数で習った公式

二倍角の公式 cos 2x=2cos2x-1、
三倍角の公式 cos 3x=4cos3x-3cos x

を思い出してください。 この公式から、自然数 n＝1,2,3,… に対して cos nx は（整数を係数とする） cos x の n 次多項式になることが類推でき、 それは三角関数の加法定理と数学的帰納法から証明できます。
このことから自然数 M, N に対して M が N の約数のとき、 cos M°が有理数なら cos N°も有理数になることがわかります。 その対偶を考えれば

M が N の約数のとき、 cos N°が有理数でなければ、cos M°も有理数でない…(*)

ことがいえます。これを道具にして調べていきます。

[1]　cos 45°＝√2/2 であるから、 45°の動径と x軸、y軸、原点に関して対称な動径が表す角の cos である cos (45×(2n-1))°（n は自然数）は有理数でありません。
奇数は必ず 2n-1 と表されるので、 (*)より A が奇数なら cos A°は有理数でないことがわかります。

[2]　cos 30°＝√3 /2 であるから、cos 30°は有理数ではありません。
また、30°の動径とx軸、y軸、原点に関して対称な動径が表す角の cos である cos (30×(6n±1))°（n は自然数）も有理数でありません。
30×(6n±1)=2×3×5×(6n±1) と分解できるので、
(*)より A=2×(6n±1)=12n±2 の型の偶数に対する cos A°も有理数ではありません。

[3]　右の図から cos 72°＝((√5)-1)/4 であることがわかります。
したがって、72°の動径とx軸に関して対称な動径が表す角の cos である cos (72×(5n±1))°（n は自然数）は有理数ではありません。
72×(5n±1)=23×32×(5n±1) と分解できるので、
(*)よりまず、A=2×(5n±1)=10n±2 の型の偶数に対する cos A°も有理数ではありません。

[4]　また、(*)より A=4×(5n±1)=20n±4 の型の偶数に対する cos A°も有理数ではありません。

[5]　さらに、(*)より A=6×(5n±1)=30n±6 の型の偶数に対する cos A°も有理数ではありません。

[6]　残った A は20、40、60、80の４個です。 cos 80°＝x とおくと三倍角の公式より cos 240°＝4x3-3x＝-1/2 を満たします。
x が既約分数 x=m/n で表されたと仮定します。 これを代入して整理すると 2m(4m2-3n2)=-n3 となります。
左辺から n は偶数（n=2k と表される)であり、仮定より m は奇数です。 再び代入して 2m(4m2-12k2)=-8k3 すなわち m(m2-3k2)=-k3 となります。
いま、k が奇数とすると、右辺は奇数ですが、 左辺は奇数×偶数で偶数となり矛盾です。 そこで、k が偶数とすると、 m が奇数であることから m2-3k2 は 8で割り切れないといけません。 ところが m2-3k2 は奇数なので矛盾です。 以上により、x=cos 80°は有理数ではないことがいえました。
(*)より、cos 20°、cos 40°も有理数ではありません。

A 2 4 6 810121416182022242628303234363840424446485052545658606264666870727476788082848688
[2]で除外 ×× ×× ××× ×× ×× ×× ×× ×
[3]で除外 ×× ×× ×× ×× ×× ×× ×× ×× ××
[4]で除外 × × × × × × × × ×
[5]で除外 × × × × × ×
[6]で除外 × × ×

ゆえに

cos A°（A=1,2,3,…,89）のうち、cos 60°(=1/2)だけが唯一の有理数である

ことが証明されました。 同時に sin A°＝cos(90°−A°) であるから、sin A°（A=1,2,3,…,89）のうち、 sin 30°(=1/2)だけが唯一の有理数であることもいえました。

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