問題. 次の作家の文学作品を後ろの選択肢から選び、記号で答えよ。1.志賀直哉 ( ) 2.幸田露伴 ( ) 3.谷崎潤一郎 ( ) 4.島崎藤村 ( ) 5.堀辰雄 ( )
6.三島由紀夫 ( ) 7.芥川龍之介 ( ) 8.菊池寛 ( ) 9.三好達治 ( ) 10.横光利一 ( )ア.夜明け前 イ.風立ちぬ ウ.河童 エ.旅愁 オ.細雪
カ.潮騒 キ.五重塔 ク.恩讐の彼方に ケ.暗夜行路 コ.測量船
このとき、不勉強のせいか、あるいは難問のせいか、全くわからないということがあります。 そんなとき、とりあえずあてずっぽでうめておいたが、 後で答案が返ってきた(答え合わせした)とき、 1つも当たってないということがあります。 (10個もあるのに)なんで1つも当たらないのか不満に思うかもしれません。 そこで、その確率を計算してみます。
これは、1から n までの数字を書いたカードから無作為に1枚ずつ引いていって、 例えば5枚めに引いたカードが5であるというような、 これまでに引いたカードの枚数とカードの番号がぴったり一致するのが何回あったか を考えることと同じです。
n=3 のとき、すべてのパターン(6通り)について一致する回数を調べると、
| なので、 |
|
となります。 n=4 のときは n=3 のときの正解数で分類して考えます。(4の位置に注意して見て下さい。)
(n=3 のときの0問正解 231に対応するもの) | 2314 1問正解 | 4312 0問正解 | 2413 0問正解 | 2341 0問正解 |
(n=3 のときの1問正解 132に対応するもの) | 1324 2問正解 | 4321 0問正解 | 1423 1問正解 | 1342 0問正解 |
(n=3 のときの3問正解 123に対応するもの) | 1234 4問正解 | 4231 2問正解 | 1432 2問正解 | 1243 2問正解 |
よって、全24通りは、
0問正解 | 9通り(=3*2+1*3) |
1問正解 | 8通り(=2+2*3+2*0) |
2問正解 | 6通り(=3+1*0+3*1) |
3問正解 | 0通り(=0) |
4問正解 | 1通り(=1) |
と分類できます。 このようにして、帰納的に個数および確率を計算していくと、次の表のようになります。
選択肢の数 | 2個 | 3個 | 4個 | 5個 | 6個 | 7個 | 8個 | 9個 | 10個 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
答え方の パターン | 2通り | 6通り | 24通り | 120通り | 720通り | 5040通り | 40320通り | 362880通り | 3628800通り | |
0問正解 (確率) | 1通り (50.0%) | 2通り (33.3%) | 9通り (37.5%) | 44通り (36.6%) | 265通り (36.8%) | 1854通り (36.7%) | 14833通り (36.7%) | 133496通り (36.7%) | 1334961通り (36.7%) | |
1問正解 (確率) | 0通り (0.0%) | 3通り (50.0%) | 8通り (33.3%) | 45通り (37.5%) | 264通り (36.6%) | 1855通り (36.8%) | 14832通り (36.7%) | 133497通り (36.7%) | 1334960通り (36.7%) | |
2問正解 (確率) | 1通り (50.0%) | 0通り (0.0%) | 6通り (25.0%) | 20通り (16.6%) | 135通り (18.7%) | 924通り (18.3%) | 7420通り (18.4%) | 66744通り (18.3%) | 667485通り (18.3%) | |
3問正解 (確率) | 1通り (16.6%) | 0通り (0.0%) | 10通り (8.3%) | 40通り (5.5%) | 315通り (6.2%) | 2464通り (6.1%) | 22260通り (6.1%) | 222480通り (6.1%) | ||
4問正解 (確率) | 1通り (4.1%) | 0通り (0.0%) | 15通り (2.0%) | 70通り (1.3%) | 630通り (1.5%) | 5544通り (1.5%) | 55650通り (1.5%) | |||
5問正解 (確率) | 1通り (0.8%) | 0通り (0.0%) | 21通り (0.4%) | 112通り (0.2%) | 1134通り (0.3%) | 11088通り (0.3%) | ||||
6問正解 (確率) | 1通り (0.1%) | 0通り (0.0%) | 28通り (0.0%) | 168通り (0.0%) | 1890通り (0.0%) | |||||
7問正解 (確率) | 1通り (0.0%) | 0通り (0.0%) | 36通り (0.0%) | 240通り (0.0%) | ||||||
8問正解 (確率) | 1通り (0.0%) | 0通り (0.0%) | 45通り (0.0%) | |||||||
9問正解 (確率) | 1通り (0.0%) | 0通り (0.0%) | ||||||||
10問正解 (確率) | 1通り (0.0%) |
このように、10個の選択肢から選ぶ問題で1問も正解しない確率は約36.7%もあります。 さらにこの表からわかるように
ことに気がつきます。 (この36.7%は実は 1/e です。 ただし、 e は微分積分で出てくる自然対数の底(ネイピアの数) e=2.718... です。 これは理工系大学の1年生の知識があれば証明できます。) また、この表からもわかりますが
です。 よく、全部はずれるのはイヤなので、 すべて「ア」にするという考えもあるかと思います。 それについては次のように結論づけられます。