問題． 次の作家の文学作品を後ろの選択肢から選び、記号で答えよ。１．志賀直哉 （ ） ２．幸田露伴 （ ） ３．谷崎潤一郎 （ ） ４．島崎藤村 （ ） ５．堀辰雄 （ ）
６．三島由紀夫 （ ） ７．芥川龍之介 （ ） ８．菊池寛 （ ） ９．三好達治 （ ） １０．横光利一 （ ）ア．夜明け前 イ．風立ちぬ ウ．河童 エ．旅愁 オ．細雪
カ．潮騒 キ．五重塔 ク．恩讐の彼方に ケ．暗夜行路 コ．測量船
このとき、不勉強のせいか、あるいは難問のせいか、全くわからないということがあります。 そんなとき、とりあえずあてずっぽでうめておいたが、 後で答案が返ってきた（答え合わせした）とき、 １つも当たってないということがあります。 （10個もあるのに）なんで１つも当たらないのか不満に思うかもしれません。 そこで、その確率を計算してみます。
これは、１から n までの数字を書いたカードから無作為に１枚ずつ引いていって、 例えば５枚めに引いたカードが５であるというような、 これまでに引いたカードの枚数とカードの番号がぴったり一致するのが何回あったか を考えることと同じです。
n=3 のとき、すべてのパターン(6通り)について一致する回数を調べると、
| なので、 |
|
となります。 n=4 のときは n=3 のときの正解数で分類して考えます。（４の位置に注意して見て下さい。）
| （n=3 のときの０問正解 ２３１に対応するもの） | ２３１４ １問正解 | ４３１２ ０問正解 | ２４１３ ０問正解 | ２３４１ ０問正解 |
| （n=3 のときの１問正解 １３２に対応するもの） | １３２４ ２問正解 | ４３２１ ０問正解 | １４２３ １問正解 | １３４２ ０問正解 |
| （n=3 のときの３問正解 １２３に対応するもの） | １２３４ ４問正解 | ４２３１ ２問正解 | １４３２ ２問正解 | １２４３ ２問正解 |
よって、全２４通りは、
| ０問正解 | ９通り(=3*2+1*3) |
| １問正解 | ８通り(=2+2*3+2*0) |
| ２問正解 | ６通り(=3+1*0+3*1) |
| ３問正解 | ０通り(=0) |
| ４問正解 | １通り(=1) |
と分類できます。 このようにして、帰納的に個数および確率を計算していくと、次の表のようになります。
| 選択肢の数 | 2個 | 3個 | 4個 | 5個 | 6個 | 7個 | 8個 | 9個 | 10個 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 答え方の パターン | 2通り | 6通り | 24通り | 120通り | 720通り | 5040通り | 40320通り | 362880通り | 3628800通り | |
| 0問正解 (確率) | 1通り (50.0％) | 2通り (33.3％) | 9通り (37.5％) | 44通り (36.6％) | 265通り (36.8％) | 1854通り (36.7％) | 14833通り (36.7％) | 133496通り (36.7％) | 1334961通り (36.7％) | |
| 1問正解 (確率) | 0通り (0.0％) | 3通り (50.0％) | 8通り (33.3％) | 45通り (37.5％) | 264通り (36.6％) | 1855通り (36.8％) | 14832通り (36.7％) | 133497通り (36.7％) | 1334960通り (36.7％) | |
| 2問正解 (確率) | 1通り (50.0％) | 0通り (0.0％) | 6通り (25.0％) | 20通り (16.6％) | 135通り (18.7％) | 924通り (18.3％) | 7420通り (18.4％) | 66744通り (18.3％) | 667485通り (18.3％) | |
| 3問正解 (確率) | 1通り (16.6％) | 0通り (0.0％) | 10通り (8.3％) | 40通り (5.5％) | 315通り (6.2％) | 2464通り (6.1％) | 22260通り (6.1％) | 222480通り (6.1％) | ||
| 4問正解 (確率) | 1通り (4.1％) | 0通り (0.0％) | 15通り (2.0％) | 70通り (1.3％) | 630通り (1.5％) | 5544通り (1.5％) | 55650通り (1.5％) | |||
| 5問正解 (確率) | 1通り (0.8％) | 0通り (0.0％) | 21通り (0.4％) | 112通り (0.2％) | 1134通り (0.3％) | 11088通り (0.3％) | ||||
| 6問正解 (確率) | 1通り (0.1％) | 0通り (0.0％) | 28通り (0.0％) | 168通り (0.0％) | 1890通り (0.0％) | |||||
| 7問正解 (確率) | 1通り (0.0％) | 0通り (0.0％) | 36通り (0.0％) | 240通り (0.0％) | ||||||
| 8問正解 (確率) | 1通り (0.0％) | 0通り (0.0％) | 45通り (0.0％) | |||||||
| 9問正解 (確率) | 1通り (0.0％) | 0通り (0.0％) | ||||||||
| 10問正解 (確率) | 1通り (0.0％) |
このように、10個の選択肢から選ぶ問題で１問も正解しない確率は約36.7％もあります。 さらにこの表からわかるように
ことに気がつきます。 （この36.7％は実は 1/e です。 ただし、 e は微分積分で出てくる自然対数の底（ネイピアの数） e=2.718... です。 これは理工系大学の１年生の知識があれば証明できます。） また、この表からもわかりますが
です。 よく、全部はずれるのはイヤなので、 すべて「ア」にするという考えもあるかと思います。 それについては次のように結論づけられます。