コラム
このページは，世の中のいろいろな社会現象を数学的に解析してみるページです．
ご意見は kojo@sci.niihama-nct.ac.jp あてにお願いします。
プロ野球とＪリーグの得点分布は似ているのか？
プロ野球では2011年度から統一球が導入され，打球が飛ばなくなり，どのチームも得点力が落ちました。
セ・リーグを連覇したものの，チーム総得点が少なかった中日ドラゴンズの得点分布を調べると
次のようになります。
得点だけで見ると，サッカーの試合と見間違うほどのロースコアの試合が多かったです。
そこで，中日ドラゴンズの試合ごとの得点分布をＪリーグの名古屋グランパスの得点分布と比較してみました。
中日ドラゴンズのペナントレース144試合での総得点は419点で，１試合の平均得点は2.91点でした。
一方，名古屋グランパスのリーグ戦34試合での総得点は67点で，１試合の平均得点は1.97点でした。
Ｊリーグの試合時間は90分なので，グランパスは１時間当たり1.32点をとっています．
一方、（攻守交代や作戦タイム、投手交代の時間を除いた）プロ野球の実質の試合時間を
約2時間40分と考えるとドラゴンズは１時間当たり1.09点しかとっておらず，
スポーツの形態が全然違うとはいえ，グランパスのほうが得点力があるという計算になります．
2011年度中日ドラゴンズの得点分布
| 得点
| 試合数
| 相対度数
|
| 0
| 22
| 0.153
|
| 1
| 30
| 0.208
|
| 2
| 16
| 0.111
|
| 3
| 20
| 0.139
|
| 4
| 21
| 0.146
|
| 5
| 14
| 0.097
|
| 6
| 11
| 0.076
|
| 7
| 5
| 0.035
|
| 8
| 3
| 0.021
|
| 9
| 2
| 0.014
|
| 計
| 144
| 1.000
|
平均得点＝2.91点
|
2011年度名古屋グランパスの得点分布
| 得点
| 試合数
| 相対度数
|
| 0
| 4
| 0.118
|
| 1
| 10
| 0.294
|
| 2
| 8
| 0.235
|
| 3
| 8
| 0.235
|
| 4
| 3
| 0.088
|
| 5
| 1
| 0.029
|
| 計
| 34
| 1.000
|
平均得点＝1.97点
|
|
ところで，サッカーの得点分布はポアソン分布とよばれる分布に従うといわれています。
（整数の値をとる）確率変数 X が平均 λ のポアソン分布に従うとは
X の確率分布が
P(X=k)=e-λλk/k！ (k=0,1,2,3,…)
（ただし，e=2.71828...は自然対数の底，k！=1×2×3×…×k [kの階乗]）
であるときにいいます。
サイコロを振ったとき，どの目も出る確率も1/6ずつですが，実際にサイコロを60回振っても，
１から６までの目がどれもぴったり10回ずつ出ないように，
ある確率分布に従うといっても，そこには偶然性からくるずれが生じます。
そこで，統計データがある確率分布に従っているかどうかを判定するのに，適合度の検定というものがあります。
いま，グランパスの得点分布が平均 λ=1.97 のポアソン分布に従うという仮説を立てます。
各階級の実際の値を観測度数，全く仮説どおりに分布するときの期待値を期待度数とよぶとき，
統計量として，
χ2=(観測度数−期待度数)2/期待度数，（狽ﾍ階級についての総和を意味する）
とすると，χ2 が自由度 3 の χ2（カイ２乗）分布とよばれる確率分布に従うことが知られています。
（自由度は階級の個数−１−１（ポアソン分布の平均値を実際の値で代用したため）で計算されます。４点以上を１つの階級にしたので，いまの場合の自由度は 5ー1−1＝3 となります。）
実際の値が仮説の値に近ければ χ2 の値は 0 に近い正の値をとり，
逆に遠ければ χ2 の値は大きな正の値になります。
統計学では，（有意水準を5％としたとき）仮説に対して起こり得ないほうから数えて5％以下のことが起こったら仮説を棄却し，
そうでなければ仮説を受容（間違いとはいえないと）します。
自由度 3 の χ2 分布で P(χ2＞7.81)＝0.05 です。
今のデータの場合，χ2＝1.05 となるので，
グランパスの得点分布はポアソン分布に従うといってよいと結論付けられます。
2011年度名古屋グランパスの得点分布
| 得点
|
| 期待度数
|
|
| 0
| 4
| 4.74
| 0.12
|
| 1
| 10
| 9.34
| 0.05
|
| 2
| 8
| 9.20
| 0.16
|
| 3
| 8
| 6.04
| 0.63
|
| 4以上
| 4
| 4.68
| 0.10
|
| 計
| 34
| 34.00
| 1.05
|
|
|
|
一方，ドラゴンズの得点分布が平均 λ＝2.91 のポアソン分布に従うとして，
同様に検定します。
７点以上を１つの階級にしたので，自由度は 8−1−1＝6 となります。
検定量は χ2＝52.52 となり，
自由度 6 の χ2 分布では P(χ2＞12.59)＝0.05 ですので，
ドラゴンズの得点分布はポアソン分布に従わないと結論付けられます。
2011年度中日ドラゴンズの得点分布
| 得点
|
| 期待度数
|
|
| 0
| 22
| 7.85
| 25.53
|
| 1
| 30
| 22.83
| 2.25
|
| 2
| 16
| 33.22
| 8.92
|
| 3
| 20
| 32.22
| 4.63
|
| 4
| 21
| 23.44
| 0.25
|
| 5
| 14
| 13.64
| 0.01
|
| 6
| 11
| 6.61
| 2.91
|
| 7以上
| 10
| 4.20
| 8.01
|
| 計
| 144
| 144.00
| 52.52
|
|
|
|
このことから，いくら打てないからといっても
プロ野球のチームの得点分布はＪリーグのチームの得点分布（ポアソン分布）とは異なる
といえます。この違いが出る理由として，野球では一度に大量点を取れることが大きく影響していると思われます。
バックナンバー
クライマックスシリーズのアドバンテージってどれくらい有利なの？
(06. 8.16)
どの星座占いを信じたらいいの？
(06. 8.16)
１人を選ぶのに何回じゃんけんしたらよいの？
(06. 4.17)
三角形の固定された内点を通って二等分する直線をひく方法
(03. 5. 2)
グラフ電卓でシャオロンをかこう
(02. 7.20)
選択肢の問題・・・なんで１つも当たらないの？
(01. 7.26)