コラム

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このページは、世の中のいろいろな社会現象を数学的に解析してみるページです。
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三角形の固定された内点を通って二等分する直線をひく方法

線分の二等分線や角の二等分線などのように, 与えられた図形から(目盛りのない,ただ線をひくだけの)定規とコンパスを使って, 目的の点の位置を求めたり,線を引いたりする問題を作図問題といいます. いろいろな作図問題について,解けるかどうかということは古くから議論されてきました. (有名なもので,(一般的な)角の三等分線は作図不可能であることが知られています.)

例えば,右図のような△ABCの辺BC上にかってにとった点Pを通って, △ABCの面積を二等分するような直線をひく方法は次の通りです.

辺BCの中点をとる. AP//QMとなる点Qを辺CA上にとる. PQが求める直線である.

では,右図のような

△ABCの内部にかってにとった点Pを通って,
△ABCの面積を二等分する直線をひく

にはどうしたらよいでしょう?
これは簡単ではありませんが,「問題解法 幾何学辞典」(笹部貞市郎 著,聖文社)にある 2つの定理を組み合わせると,以下のようにして作図することができます. これが正しいことは中学校程度の数学の知識で証明できます.


[1] ACより内側に∠BAP=∠CAXとなる半直線AXをひく.


[2] AX上にAP・AQ=(1/2)AB・ACとなる点Qをとる.

ABの延長上にAP''=2APとなる
点P''をとる.
P''C//BQ'となる点Q'を辺AC上に
とる.
AX上にAQ=AQ'となる点Qをとる.


[3] △APQの中に∠RPQ=∠RQP=90°−∠BAQとなる点Rをとる.

Aを通りAQに垂直な半直線AYをひく. (∠BAY=90°−∠BAQである) 線分PQの両端P,Qに∠BAYの大きさを写しとる. (∠PRQ=2×∠BAQである)


[4] 点Rを中心として,半径RPの円をかき,ACとの交点をSとする.
SとPを結んだ直線が求める直線である.

(∠PSQ=∠BAQとなる!) STが求める直線である.
(A,Q,S,Tが同一円周上にある!)

点Pの位置によっては面積を二等分する直線が2本以上ひけることもあります. また,点Pが△ABCの外にあっても類似の方法で面積を二等分する直線が作図できます.


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